src/code/irrat.lisp

   1 ;;;; This file contains all the irrational functions. (Actually, most
   2 ;;;; of the work is done by calling out to C.)
   3
   4 ;;;; This software is part of the SBCL system. See the README file for
   5 ;;;; more information.
   6 ;;;;
   7 ;;;; This software is derived from the CMU CL system, which was
   8 ;;;; written at Carnegie Mellon University and released into the
   9 ;;;; public domain. The software is in the public domain and is
  10 ;;;; provided with absolutely no warranty. See the COPYING and CREDITS
  11 ;;;; files for more information.
  12
  13 (in-package "SB!KERNEL")
  14 \f
  15 ;;;; miscellaneous constants, utility functions, and macros
  16
  17 (defconstant pi
  18   #!+long-float 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511l0
  19   #!-long-float 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511d0)
  20
  21 ;;; Make these INLINE, since the call to C is at least as compact as a
  22 ;;; Lisp call, and saves number consing to boot.
  23 (eval-when (:compile-toplevel :execute)
  24
  25 (sb!xc:defmacro def-math-rtn (name num-args)
  26   (let ((function (symbolicate "%" (string-upcase name))))
  27     `(progn
  28        (proclaim '(inline ,function))
  29        (sb!alien:define-alien-routine (,name ,function) double-float
  30          ,@(let ((results nil))
  31              (dotimes (i num-args (nreverse results))
  32                (push (list (intern (format nil "ARG-~D" i))
  33                            'double-float)
  34                      results)))))))
  35
  36 (defun handle-reals (function var)
  37   `((((foreach fixnum single-float bignum ratio))
  38      (coerce (,function (coerce ,var 'double-float)) 'single-float))
  39     ((double-float)
  40      (,function ,var))))
  41
  42 ) ; EVAL-WHEN
  43 \f
  44 ;;;; stubs for the Unix math library
  45 ;;;;
  46 ;;;; Many of these are unnecessary on the X86 because they're built
  47 ;;;; into the FPU.
  48
  49 ;;; trigonometric
  50 #!-x86 (def-math-rtn "sin" 1)
  51 #!-x86 (def-math-rtn "cos" 1)
  52 #!-x86 (def-math-rtn "tan" 1)
  53 (def-math-rtn "asin" 1)
  54 (def-math-rtn "acos" 1)
  55 #!-x86 (def-math-rtn "atan" 1)
  56 #!-x86 (def-math-rtn "atan2" 2)
  57 (def-math-rtn "sinh" 1)
  58 (def-math-rtn "cosh" 1)
  59 (def-math-rtn "tanh" 1)
  60 (def-math-rtn "asinh" 1)
  61 (def-math-rtn "acosh" 1)
  62 (def-math-rtn "atanh" 1)
  63
  64 ;;; exponential and logarithmic
  65 #!-x86 (def-math-rtn "exp" 1)
  66 #!-x86 (def-math-rtn "log" 1)
  67 #!-x86 (def-math-rtn "log10" 1)
  68 (def-math-rtn "pow" 2)
  69 #!-x86 (def-math-rtn "sqrt" 1)
  70 (def-math-rtn "hypot" 2)
  71 #!-(or hpux x86) (def-math-rtn "log1p" 1)
  72 \f
  73 ;;;; power functions
  74
  75 (defun exp (number)
  76   #!+sb-doc
  77   "Return e raised to the power NUMBER."
  78   (number-dispatch ((number number))
  79     (handle-reals %exp number)
  80     ((complex)
  81      (* (exp (realpart number))
  82         (cis (imagpart number))))))
  83
  84 ;;; INTEXP -- Handle the rational base, integer power case.
  85
  86 ;;; FIXME: As long as the system dies on stack overflow or memory
  87 ;;; exhaustion, it seems reasonable to have this, but its default
  88 ;;; should be NIL, and when it's NIL, anything should be accepted.
  89 (defparameter *intexp-maximum-exponent* 10000)
  90
  91 ;;; This function precisely calculates base raised to an integral
  92 ;;; power. It separates the cases by the sign of power, for efficiency
  93 ;;; reasons, as powers can be calculated more efficiently if power is
  94 ;;; a positive integer. Values of power are calculated as positive
  95 ;;; integers, and inverted if negative.
  96 (defun intexp (base power)
  97   (when (> (abs power) *intexp-maximum-exponent*)
  98     ;; FIXME: should be ordinary error, not CERROR. (Once we set the
  99     ;; default for the variable to NIL, the un-continuable error will
 100     ;; be less obnoxious.)
 101     (cerror "Continue with calculation."
 102             "The absolute value of ~S exceeds ~S."
 103             power '*intexp-maximum-exponent* base power))
 104   (cond ((minusp power)
 105          (/ (intexp base (- power))))
 106         ((eql base 2)
 107          (ash 1 power))
 108         (t
 109          (do ((nextn (ash power -1) (ash power -1))
 110               (total (if (oddp power) base 1)
 111                      (if (oddp power) (* base total) total)))
 112              ((zerop nextn) total)
 113            (setq base (* base base))
 114            (setq power nextn)))))
 115
 116 ;;; If an integer power of a rational, use INTEXP above. Otherwise, do
 117 ;;; floating point stuff. If both args are real, we try %POW right
 118 ;;; off, assuming it will return 0 if the result may be complex. If
 119 ;;; so, we call COMPLEX-POW which directly computes the complex
 120 ;;; result. We also separate the complex-real and real-complex cases
 121 ;;; from the general complex case.
 122 (defun expt (base power)
 123   #!+sb-doc
 124   "Return BASE raised to the POWER."
 125   (if (zerop power)
 126       (1+ (* base power))
 127     (labels (;; determine if the double float is an integer.
 128              ;;  0 - not an integer
 129              ;;  1 - an odd int
 130              ;;  2 - an even int
 131              (isint (ihi lo)
 132                (declare (type (unsigned-byte 31) ihi)
 133                         (type (unsigned-byte 32) lo)
 134                         (optimize (speed 3) (safety 0)))
 135                (let ((isint 0))
 136                  (declare (type fixnum isint))
 137                  (cond ((>= ihi #x43400000)     ; exponent >= 53
 138                         (setq isint 2))
 139                        ((>= ihi #x3ff00000)
 140                         (let ((k (- (ash ihi -20) #x3ff)))      ; exponent
 141                           (declare (type (mod 53) k))
 142                           (cond ((> k 20)
 143                                  (let* ((shift (- 52 k))
 144                                         (j (logand (ash lo (- shift))))
 145                                         (j2 (ash j shift)))
 146                                    (declare (type (mod 32) shift)
 147                                             (type (unsigned-byte 32) j j2))
 148                                    (when (= j2 lo)
 149                                      (setq isint (- 2 (logand j 1))))))
 150                                 ((= lo 0)
 151                                  (let* ((shift (- 20 k))
 152                                         (j (ash ihi (- shift)))
 153                                         (j2 (ash j shift)))
 154                                    (declare (type (mod 32) shift)
 155                                             (type (unsigned-byte 31) j j2))
 156                                    (when (= j2 ihi)
 157                                      (setq isint (- 2 (logand j 1))))))))))
 158                  isint))
 159              (real-expt (x y rtype)
 160                (let ((x (coerce x 'double-float))
 161                      (y (coerce y 'double-float)))
 162                  (declare (double-float x y))
 163                  (let* ((x-hi (sb!kernel:double-float-high-bits x))
 164                         (x-lo (sb!kernel:double-float-low-bits x))
 165                         (x-ihi (logand x-hi #x7fffffff))
 166                         (y-hi (sb!kernel:double-float-high-bits y))
 167                         (y-lo (sb!kernel:double-float-low-bits y))
 168                         (y-ihi (logand y-hi #x7fffffff)))
 169                    (declare (type (signed-byte 32) x-hi y-hi)
 170                             (type (unsigned-byte 31) x-ihi y-ihi)
 171                             (type (unsigned-byte 32) x-lo y-lo))
 172                    ;; y==zero: x**0 = 1
 173                    (when (zerop (logior y-ihi y-lo))
 174                      (return-from real-expt (coerce 1d0 rtype)))
 175                    ;; +-NaN return x+y
 176                    (when (or (> x-ihi #x7ff00000)
 177                              (and (= x-ihi #x7ff00000) (/= x-lo 0))
 178                              (> y-ihi #x7ff00000)
 179                              (and (= y-ihi #x7ff00000) (/= y-lo 0)))
 180                      (return-from real-expt (coerce (+ x y) rtype)))
 181                    (let ((yisint (if (< x-hi 0) (isint y-ihi y-lo) 0)))
 182                      (declare (type fixnum yisint))
 183                      ;; special value of y
 184                      (when (and (zerop y-lo) (= y-ihi #x7ff00000))
 185                        ;; y is +-inf
 186                        (return-from real-expt
 187                          (cond ((and (= x-ihi #x3ff00000) (zerop x-lo))
 188                                 ;; +-1**inf is NaN
 189                                 (coerce (- y y) rtype))
 190                                ((>= x-ihi #x3ff00000)
 191                                 ;; (|x|>1)**+-inf = inf,0
 192                                 (if (>= y-hi 0)
 193                                     (coerce y rtype)
 194                                     (coerce 0 rtype)))
 195                                (t
 196                                 ;; (|x|<1)**-,+inf = inf,0
 197                                 (if (< y-hi 0)
 198                                     (coerce (- y) rtype)
 199                                     (coerce 0 rtype))))))
 200
 201                      (let ((abs-x (abs x)))
 202                        (declare (double-float abs-x))
 203                        ;; special value of x
 204                        (when (and (zerop x-lo)
 205                                   (or (= x-ihi #x7ff00000) (zerop x-ihi)
 206                                       (= x-ihi #x3ff00000)))
 207                          ;; x is +-0,+-inf,+-1
 208                          (let ((z (if (< y-hi 0)
 209                                       (/ 1 abs-x)       ; z = (1/|x|)
 210                                       abs-x)))
 211                            (declare (double-float z))
 212                            (when (< x-hi 0)
 213                              (cond ((and (= x-ihi #x3ff00000) (zerop yisint))
 214                                     ;; (-1)**non-int
 215                                     (let ((y*pi (* y pi)))
 216                                       (declare (double-float y*pi))
 217                                       (return-from real-expt
 218                                         (complex
 219                                          (coerce (%cos y*pi) rtype)
 220                                          (coerce (%sin y*pi) rtype)))))
 221                                    ((= yisint 1)
 222                                     ;; (x<0)**odd = -(|x|**odd)
 223                                     (setq z (- z)))))
 224                            (return-from real-expt (coerce z rtype))))
 225
 226                        (if (>= x-hi 0)
 227                            ;; x>0
 228                            (coerce (sb!kernel::%pow x y) rtype)
 229                            ;; x<0
 230                            (let ((pow (sb!kernel::%pow abs-x y)))
 231                              (declare (double-float pow))
 232                              (case yisint
 233                                (1 ; odd
 234                                 (coerce (* -1d0 pow) rtype))
 235                                (2 ; even
 236                                 (coerce pow rtype))
 237                                (t ; non-integer
 238                                 (let ((y*pi (* y pi)))
 239                                   (declare (double-float y*pi))
 240                                   (complex
 241                                    (coerce (* pow (%cos y*pi))
 242                                            rtype)
 243                                    (coerce (* pow (%sin y*pi))
 244                                            rtype)))))))))))))
 245       (declare (inline real-expt))
 246       (number-dispatch ((base number) (power number))
 247         (((foreach fixnum (or bignum ratio) (complex rational)) integer)
 248          (intexp base power))
 249         (((foreach single-float double-float) rational)
 250          (real-expt base power '(dispatch-type base)))
 251         (((foreach fixnum (or bignum ratio) single-float)
 252           (foreach ratio single-float))
 253          (real-expt base power 'single-float))
 254         (((foreach fixnum (or bignum ratio) single-float double-float)
 255           double-float)
 256          (real-expt base power 'double-float))
 257         ((double-float single-float)
 258          (real-expt base power 'double-float))
 259         (((foreach (complex rational) (complex float)) rational)
 260          (* (expt (abs base) power)
 261             (cis (* power (phase base)))))
 262         (((foreach fixnum (or bignum ratio) single-float double-float)
 263           complex)
 264          (if (and (zerop base) (plusp (realpart power)))
 265              (* base power)
 266              (exp (* power (log base)))))
 267         (((foreach (complex float) (complex rational))
 268           (foreach complex double-float single-float))
 269          (if (and (zerop base) (plusp (realpart power)))
 270              (* base power)
 271              (exp (* power (log base)))))))))
 272
 273 ;;; FIXME: Maybe rename this so that it's clearer that it only works
 274 ;;; on integers?
 275 (defun log2 (x)
 276   (declare (type integer x))
 277   ;; CMUCL comment:
 278   ;;
 279   ;;   Write x = 2^n*f where 1/2 < f <= 1.  Then log2(x) = n +
 280   ;;   log2(f).  So we grab the top few bits of x and scale that
 281   ;;   appropriately, take the log of it and add it to n.
 282   ;;
 283   ;; Motivated by an attempt to get LOG to work better on bignums.
 284   (let ((n (integer-length x)))
 285     (if (< n sb!vm:double-float-digits)
 286         (log (coerce x 'double-float) 2.0d0)
 287         (let ((f (ldb (byte sb!vm:double-float-digits
 288                             (- n sb!vm:double-float-digits))
 289                       x)))
 290           (+ n (log (scale-float (coerce f 'double-float)
 291                                  (- sb!vm:double-float-digits))
 292                     2.0d0))))))
 293
 294 (defun log (number &optional (base nil base-p))
 295   #!+sb-doc
 296   "Return the logarithm of NUMBER in the base BASE, which defaults to e."
 297   (if base-p
 298       (cond
 299         ((zerop base) 0f0) ; FIXME: type
 300         ((and (typep number '(integer (0) *))
 301               (typep base '(integer (0) *)))
 302          (coerce (/ (log2 number) (log2 base)) 'single-float))
 303         (t (/ (log number) (log base))))
 304       (number-dispatch ((number number))
 305         (((foreach fixnum bignum))
 306          (if (minusp number)
 307              (complex (log (- number)) (coerce pi 'single-float))
 308              (coerce (/ (log2 number) (log (exp 1.0d0) 2.0d0)) 'single-float)))
 309         ((ratio)
 310          (if (minusp number)
 311              (complex (log (- number)) (coerce pi 'single-float))
 312              (let ((numerator (numerator number))
 313                    (denominator (denominator number)))
 314                (if (= (integer-length numerator)
 315                       (integer-length denominator))
 316                    (coerce (%log1p (coerce (- number 1) 'double-float))
 317                            'single-float)
 318                    (coerce (/ (- (log2 numerator) (log2 denominator))
 319                               (log (exp 1.0d0) 2.0d0))
 320                            'single-float)))))
 321         (((foreach single-float double-float))
 322          ;; Is (log -0) -infinity (libm.a) or -infinity + i*pi (Kahan)?
 323          ;; Since this doesn't seem to be an implementation issue
 324          ;; I (pw) take the Kahan result.
 325          (if (< (float-sign number)
 326                 (coerce 0 '(dispatch-type number)))
 327              (complex (log (- number)) (coerce pi '(dispatch-type number)))
 328              (coerce (%log (coerce number 'double-float))
 329                      '(dispatch-type number))))
 330         ((complex)
 331          (complex-log number)))))
 332
 333 (defun sqrt (number)
 334   #!+sb-doc
 335   "Return the square root of NUMBER."
 336   (number-dispatch ((number number))
 337     (((foreach fixnum bignum ratio))
 338      (if (minusp number)
 339          (complex-sqrt number)
 340          (coerce (%sqrt (coerce number 'double-float)) 'single-float)))
 341     (((foreach single-float double-float))
 342      (if (minusp number)
 343          (complex-sqrt number)
 344          (coerce (%sqrt (coerce number 'double-float))
 345                  '(dispatch-type number))))
 346      ((complex)
 347       (complex-sqrt number))))
 348 \f
 349 ;;;; trigonometic and related functions
 350
 351 (defun abs (number)
 352   #!+sb-doc
 353   "Return the absolute value of the number."
 354   (number-dispatch ((number number))
 355     (((foreach single-float double-float fixnum rational))
 356      (abs number))
 357     ((complex)
 358      (let ((rx (realpart number))
 359            (ix (imagpart number)))
 360        (etypecase rx
 361          (rational
 362           (sqrt (+ (* rx rx) (* ix ix))))
 363          (single-float
 364           (coerce (%hypot (coerce rx 'double-float)
 365                           (coerce ix 'double-float))
 366                   'single-float))
 367          (double-float
 368           (%hypot rx ix)))))))
 369
 370 (defun phase (number)
 371   #!+sb-doc
 372   "Return the angle part of the polar representation of a complex number.
 373   For complex numbers, this is (atan (imagpart number) (realpart number)).
 374   For non-complex positive numbers, this is 0. For non-complex negative
 375   numbers this is PI."
 376   (etypecase number
 377     (rational
 378      (if (minusp number)
 379          (coerce pi 'single-float)
 380          0.0f0))
 381     (single-float
 382      (if (minusp (float-sign number))
 383          (coerce pi 'single-float)
 384          0.0f0))
 385     (double-float
 386      (if (minusp (float-sign number))
 387          (coerce pi 'double-float)
 388          0.0d0))
 389     (complex
 390      (atan (imagpart number) (realpart number)))))
 391
 392 (defun sin (number)
 393   #!+sb-doc
 394   "Return the sine of NUMBER."
 395   (number-dispatch ((number number))
 396     (handle-reals %sin number)
 397     ((complex)
 398      (let ((x (realpart number))
 399            (y (imagpart number)))
 400        (complex (* (sin x) (cosh y))
 401                 (* (cos x) (sinh y)))))))
 402
 403 (defun cos (number)
 404   #!+sb-doc
 405   "Return the cosine of NUMBER."
 406   (number-dispatch ((number number))
 407     (handle-reals %cos number)
 408     ((complex)
 409      (let ((x (realpart number))
 410            (y (imagpart number)))
 411        (complex (* (cos x) (cosh y))
 412                 (- (* (sin x) (sinh y))))))))
 413
 414 (defun tan (number)
 415   #!+sb-doc
 416   "Return the tangent of NUMBER."
 417   (number-dispatch ((number number))
 418     (handle-reals %tan number)
 419     ((complex)
 420      (complex-tan number))))
 421
 422 (defun cis (theta)
 423   #!+sb-doc
 424   "Return cos(Theta) + i sin(Theta), i.e. exp(i Theta)."
 425   (declare (type real theta))
 426   (complex (cos theta) (sin theta)))
 427
 428 (defun asin (number)
 429   #!+sb-doc
 430   "Return the arc sine of NUMBER."
 431   (number-dispatch ((number number))
 432     ((rational)
 433      (if (or (> number 1) (< number -1))
 434          (complex-asin number)
 435          (coerce (%asin (coerce number 'double-float)) 'single-float)))
 436     (((foreach single-float double-float))
 437      (if (or (> number (coerce 1 '(dispatch-type number)))
 438              (< number (coerce -1 '(dispatch-type number))))
 439          (complex-asin number)
 440          (coerce (%asin (coerce number 'double-float))
 441                  '(dispatch-type number))))
 442     ((complex)
 443      (complex-asin number))))
 444
 445 (defun acos (number)
 446   #!+sb-doc
 447   "Return the arc cosine of NUMBER."
 448   (number-dispatch ((number number))
 449     ((rational)
 450      (if (or (> number 1) (< number -1))
 451          (complex-acos number)
 452          (coerce (%acos (coerce number 'double-float)) 'single-float)))
 453     (((foreach single-float double-float))
 454      (if (or (> number (coerce 1 '(dispatch-type number)))
 455              (< number (coerce -1 '(dispatch-type number))))
 456          (complex-acos number)
 457          (coerce (%acos (coerce number 'double-float))
 458                  '(dispatch-type number))))
 459     ((complex)
 460      (complex-acos number))))
 461
 462 (defun atan (y &optional (x nil xp))
 463   #!+sb-doc
 464   "Return the arc tangent of Y if X is omitted or Y/X if X is supplied."
 465   (if xp
 466       (flet ((atan2 (y x)
 467                (declare (type double-float y x)
 468                         (values double-float))
 469                (if (zerop x)
 470                    (if (zerop y)
 471                        (if (plusp (float-sign x))
 472                            y
 473                            (float-sign y pi))
 474                        (float-sign y (/ pi 2)))
 475                    (%atan2 y x))))
 476         (number-dispatch ((y real) (x real))
 477           ((double-float
 478             (foreach double-float single-float fixnum bignum ratio))
 479            (atan2 y (coerce x 'double-float)))
 480           (((foreach single-float fixnum bignum ratio)
 481             double-float)
 482            (atan2 (coerce y 'double-float) x))
 483           (((foreach single-float fixnum bignum ratio)
 484             (foreach single-float fixnum bignum ratio))
 485            (coerce (atan2 (coerce y 'double-float) (coerce x 'double-float))
 486                    'single-float))))
 487       (number-dispatch ((y number))
 488         (handle-reals %atan y)
 489         ((complex)
 490          (complex-atan y)))))
 491
 492 ;;; It seems that every target system has a C version of sinh, cosh,
 493 ;;; and tanh. Let's use these for reals because the original
 494 ;;; implementations based on the definitions lose big in round-off
 495 ;;; error. These bad definitions also mean that sin and cos for
 496 ;;; complex numbers can also lose big.
 497
 498 (defun sinh (number)
 499   #!+sb-doc
 500   "Return the hyperbolic sine of NUMBER."
 501   (number-dispatch ((number number))
 502     (handle-reals %sinh number)
 503     ((complex)
 504      (let ((x (realpart number))
 505            (y (imagpart number)))
 506        (complex (* (sinh x) (cos y))
 507                 (* (cosh x) (sin y)))))))
 508
 509 (defun cosh (number)
 510   #!+sb-doc
 511   "Return the hyperbolic cosine of NUMBER."
 512   (number-dispatch ((number number))
 513     (handle-reals %cosh number)
 514     ((complex)
 515      (let ((x (realpart number))
 516            (y (imagpart number)))
 517        (complex (* (cosh x) (cos y))
 518                 (* (sinh x) (sin y)))))))
 519
 520 (defun tanh (number)
 521   #!+sb-doc
 522   "Return the hyperbolic tangent of NUMBER."
 523   (number-dispatch ((number number))
 524     (handle-reals %tanh number)
 525     ((complex)
 526      (complex-tanh number))))
 527
 528 (defun asinh (number)
 529   #!+sb-doc
 530   "Return the hyperbolic arc sine of NUMBER."
 531   (number-dispatch ((number number))
 532     (handle-reals %asinh number)
 533     ((complex)
 534      (complex-asinh number))))
 535
 536 (defun acosh (number)
 537   #!+sb-doc
 538   "Return the hyperbolic arc cosine of NUMBER."
 539   (number-dispatch ((number number))
 540     ((rational)
 541      ;; acosh is complex if number < 1
 542      (if (< number 1)
 543          (complex-acosh number)
 544          (coerce (%acosh (coerce number 'double-float)) 'single-float)))
 545     (((foreach single-float double-float))
 546      (if (< number (coerce 1 '(dispatch-type number)))
 547          (complex-acosh number)
 548          (coerce (%acosh (coerce number 'double-float))
 549                  '(dispatch-type number))))
 550     ((complex)
 551      (complex-acosh number))))
 552
 553 (defun atanh (number)
 554   #!+sb-doc
 555   "Return the hyperbolic arc tangent of NUMBER."
 556   (number-dispatch ((number number))
 557     ((rational)
 558      ;; atanh is complex if |number| > 1
 559      (if (or (> number 1) (< number -1))
 560          (complex-atanh number)
 561          (coerce (%atanh (coerce number 'double-float)) 'single-float)))
 562     (((foreach single-float double-float))
 563      (if (or (> number (coerce 1 '(dispatch-type number)))
 564              (< number (coerce -1 '(dispatch-type number))))
 565          (complex-atanh number)
 566          (coerce (%atanh (coerce number 'double-float))
 567                  '(dispatch-type number))))
 568     ((complex)
 569      (complex-atanh number))))
 570
 571 ;;; HP-UX does not supply a C version of log1p, so use the definition.
 572 ;;;
 573 ;;; FIXME: This is really not a good definition. As per Raymond Toy
 574 ;;; working on CMU CL, "The definition really loses big-time in
 575 ;;; roundoff as x gets small."
 576 #!+hpux
 577 #!-sb-fluid (declaim (inline %log1p))
 578 #!+hpux
 579 (defun %log1p (number)
 580   (declare (double-float number)
 581            (optimize (speed 3) (safety 0)))
 582   (the double-float (log (the (double-float 0d0) (+ number 1d0)))))
 583 \f
 584 ;;;; not-OLD-SPECFUN stuff
 585 ;;;;
 586 ;;;; (This was conditional on #-OLD-SPECFUN in the CMU CL sources,
 587 ;;;; but OLD-SPECFUN was mentioned nowhere else, so it seems to be
 588 ;;;; the standard special function system.)
 589 ;;;;
 590 ;;;; This is a set of routines that implement many elementary
 591 ;;;; transcendental functions as specified by ANSI Common Lisp.  The
 592 ;;;; implementation is based on Kahan's paper.
 593 ;;;;
 594 ;;;; I believe I have accurately implemented the routines and are
 595 ;;;; correct, but you may want to check for your self.
 596 ;;;;
 597 ;;;; These functions are written for CMU Lisp and take advantage of
 598 ;;;; some of the features available there.  It may be possible,
 599 ;;;; however, to port this to other Lisps.
 600 ;;;;
 601 ;;;; Some functions are significantly more accurate than the original
 602 ;;;; definitions in CMU Lisp.  In fact, some functions in CMU Lisp
 603 ;;;; give the wrong answer like (acos #c(-2.0 0.0)), where the true
 604 ;;;; answer is pi + i*log(2-sqrt(3)).
 605 ;;;;
 606 ;;;; All of the implemented functions will take any number for an
 607 ;;;; input, but the result will always be a either a complex
 608 ;;;; single-float or a complex double-float.
 609 ;;;;
 610 ;;;; general functions:
 611 ;;;;   complex-sqrt
 612 ;;;;   complex-log
 613 ;;;;   complex-atanh
 614 ;;;;   complex-tanh
 615 ;;;;   complex-acos
 616 ;;;;   complex-acosh
 617 ;;;;   complex-asin
 618 ;;;;   complex-asinh
 619 ;;;;   complex-atan
 620 ;;;;   complex-tan
 621 ;;;;
 622 ;;;; utility functions:
 623 ;;;;   scalb logb
 624 ;;;;
 625 ;;;; internal functions:
 626 ;;;;    square coerce-to-complex-type cssqs complex-log-scaled
 627 ;;;;
 628 ;;;; references:
 629 ;;;;   Kahan, W. "Branch Cuts for Complex Elementary Functions, or Much
 630 ;;;;   Ado About Nothing's Sign Bit" in Iserles and Powell (eds.) "The
 631 ;;;;   State of the Art in Numerical Analysis", pp. 165-211, Clarendon
 632 ;;;;   Press, 1987
 633 ;;;;
 634 ;;;; The original CMU CL code requested:
 635 ;;;;   Please send any bug reports, comments, or improvements to
 636 ;;;;   Raymond Toy at <email address deleted during 2002 spam avalanche>.
 637
 638 ;;; FIXME: In SBCL, the floating point infinity constants like
 639 ;;; SB!EXT:DOUBLE-FLOAT-POSITIVE-INFINITY aren't available as
 640 ;;; constants at cross-compile time, because the cross-compilation
 641 ;;; host might not have support for floating point infinities. Thus,
 642 ;;; they're effectively implemented as special variable references,
 643 ;;; and the code below which uses them might be unnecessarily
 644 ;;; inefficient. Perhaps some sort of MAKE-LOAD-TIME-VALUE hackery
 645 ;;; should be used instead?
 646
 647 (declaim (inline square))
 648 (defun square (x)
 649   (declare (double-float x))
 650   (* x x))
 651
 652 ;;; original CMU CL comment, apparently re. SCALB and LOGB and
 653 ;;; perhaps CSSQS:
 654 ;;;   If you have these functions in libm, perhaps they should be used
 655 ;;;   instead of these Lisp versions. These versions are probably good
 656 ;;;   enough, especially since they are portable.
 657
 658 ;;; Compute 2^N * X without computing 2^N first. (Use properties of
 659 ;;; the underlying floating-point format.)
 660 (declaim (inline scalb))
 661 (defun scalb (x n)
 662   (declare (type double-float x)
 663            (type double-float-exponent n))
 664   (scale-float x n))
 665
 666 ;;; This is like LOGB, but X is not infinity and non-zero and not a
 667 ;;; NaN, so we can always return an integer.
 668 (declaim (inline logb-finite))
 669 (defun logb-finite (x)
 670   (declare (type double-float x))
 671   (multiple-value-bind (signif exponent sign)
 672       (decode-float x)
 673     (declare (ignore signif sign))
 674     ;; DECODE-FLOAT is almost right, except that the exponent is off
 675     ;; by one.
 676     (1- exponent)))
 677
 678 ;;; Compute an integer N such that 1 <= |2^N * x| < 2.
 679 ;;; For the special cases, the following values are used:
 680 ;;;    x             logb
 681 ;;;   NaN            NaN
 682 ;;;   +/- infinity   +infinity
 683 ;;;   0              -infinity
 684 (defun logb (x)
 685   (declare (type double-float x))
 686   (cond ((float-nan-p x)
 687          x)
 688         ((float-infinity-p x)
 689          sb!ext:double-float-positive-infinity)
 690         ((zerop x)
 691          ;; The answer is negative infinity, but we are supposed to
 692           ;; signal divide-by-zero, so do the actual division
 693          (/ -1.0d0 x)
 694          )
 695         (t
 696           (logb-finite x))))
 697
 698 ;;; This function is used to create a complex number of the
 699 ;;; appropriate type:
 700 ;;;   Create complex number with real part X and imaginary part Y
 701 ;;;   such that has the same type as Z.  If Z has type (complex
 702 ;;;   rational), the X and Y are coerced to single-float.
 703 #!+long-float (eval-when (:compile-toplevel :load-toplevel :execute)
 704                 (error "needs work for long float support"))
 705 (declaim (inline coerce-to-complex-type))
 706 (defun coerce-to-complex-type (x y z)
 707   (declare (double-float x y)
 708            (number z))
 709   (if (subtypep (type-of (realpart z)) 'double-float)
 710       (complex x y)
 711       ;; Convert anything that's not a DOUBLE-FLOAT to a SINGLE-FLOAT.
 712       (complex (float x 1f0)
 713                (float y 1f0))))
 714
 715 ;;; Compute |(x+i*y)/2^k|^2 scaled to avoid over/underflow. The
 716 ;;; result is r + i*k, where k is an integer.
 717 #!+long-float (eval-when (:compile-toplevel :load-toplevel :execute)
 718                 (error "needs work for long float support"))
 719 (defun cssqs (z)
 720   (let ((x (float (realpart z) 1d0))
 721         (y (float (imagpart z) 1d0)))
 722     ;; Would this be better handled using an exception handler to
 723     ;; catch the overflow or underflow signal?  For now, we turn all
 724     ;; traps off and look at the accrued exceptions to see if any
 725     ;; signal would have been raised.
 726     (with-float-traps-masked (:underflow :overflow)
 727       (let ((rho (+ (square x) (square y))))
 728        (declare (optimize (speed 3) (space 0)))
 729       (cond ((and (or (float-nan-p rho)
 730                       (float-infinity-p rho))
 731                   (or (float-infinity-p (abs x))
 732                       (float-infinity-p (abs y))))
 733               (values sb!ext:double-float-positive-infinity 0))
 734             ((let ((threshold #.(/ least-positive-double-float
 735                                    double-float-epsilon))
 736                    (traps (ldb sb!vm::float-sticky-bits
 737                                (sb!vm:floating-point-modes))))
 738                 ;; Overflow raised or (underflow raised and rho <
 739                 ;; lambda/eps)
 740                (or (not (zerop (logand sb!vm:float-overflow-trap-bit traps)))
 741                    (and (not (zerop (logand sb!vm:float-underflow-trap-bit
 742                                             traps)))
 743                         (< rho threshold))))
 744               ;; If we're here, neither x nor y are infinity and at
 745               ;; least one is non-zero.. Thus logb returns a nice
 746               ;; integer.
 747               (let ((k (- (logb-finite (max (abs x) (abs y))))))
 748                 (values (+ (square (scalb x k))
 749                            (square (scalb y k)))
 750                         (- k))))
 751              (t
 752               (values rho 0)))))))
 753
 754 ;;; principal square root of Z
 755 ;;;
 756 ;;; Z may be any NUMBER, but the result is always a COMPLEX.
 757 (defun complex-sqrt (z)
 758   (declare (number z))
 759   (multiple-value-bind (rho k)
 760       (cssqs z)
 761     (declare (type (or (member 0d0) (double-float 0d0)) rho)
 762              (type fixnum k))
 763     (let ((x (float (realpart z) 1.0d0))
 764           (y (float (imagpart z) 1.0d0))
 765           (eta 0d0)
 766           (nu 0d0))
 767       (declare (double-float x y eta nu))
 768
 769       (locally
 770          ;; space 0 to get maybe-inline functions inlined.
 771          (declare (optimize (speed 3) (space 0)))
 772
 773       (if (not (float-nan-p x))
 774           (setf rho (+ (scalb (abs x) (- k)) (sqrt rho))))
 775
 776       (cond ((oddp k)
 777              (setf k (ash k -1)))
 778             (t
 779              (setf k (1- (ash k -1)))
 780              (setf rho (+ rho rho))))
 781
 782       (setf rho (scalb (sqrt rho) k))
 783
 784       (setf eta rho)
 785       (setf nu y)
 786
 787       (when (/= rho 0d0)
 788             (when (not (float-infinity-p (abs nu)))
 789                   (setf nu (/ (/ nu rho) 2d0)))
 790             (when (< x 0d0)
 791                   (setf eta (abs nu))
 792                   (setf nu (float-sign y rho))))
 793        (coerce-to-complex-type eta nu z)))))
 794
 795 ;;; Compute log(2^j*z).
 796 ;;;
 797 ;;; This is for use with J /= 0 only when |z| is huge.
 798 (defun complex-log-scaled (z j)
 799   (declare (number z)
 800            (fixnum j))
 801   ;; The constants t0, t1, t2 should be evaluated to machine
 802   ;; precision.  In addition, Kahan says the accuracy of log1p
 803   ;; influences the choices of these constants but doesn't say how to
 804   ;; choose them.  We'll just assume his choices matches our
 805   ;; implementation of log1p.
 806   (let ((t0 #.(/ 1 (sqrt 2.0d0)))
 807         (t1 1.2d0)
 808         (t2 3d0)
 809         (ln2 #.(log 2d0))
 810         (x (float (realpart z) 1.0d0))
 811         (y (float (imagpart z) 1.0d0)))
 812     (multiple-value-bind (rho k)
 813         (cssqs z)
 814       (declare (optimize (speed 3)))
 815       (let ((beta (max (abs x) (abs y)))
 816             (theta (min (abs x) (abs y))))
 817         (coerce-to-complex-type (if (and (zerop k)
 818                  (< t0 beta)
 819                  (or (<= beta t1)
 820                      (< rho t2)))
 821                                   (/ (%log1p (+ (* (- beta 1.0d0)
 822                                        (+ beta 1.0d0))
 823                                     (* theta theta)))
 824                                      2d0)
 825                                   (+ (/ (log rho) 2d0)
 826                                      (* (+ k j) ln2)))
 827                                 (atan y x)
 828                                 z)))))
 829
 830 ;;; log of Z = log |Z| + i * arg Z
 831 ;;;
 832 ;;; Z may be any number, but the result is always a complex.
 833 (defun complex-log (z)
 834   (declare (number z))
 835   (complex-log-scaled z 0))
 836
 837 ;;; KLUDGE: Let us note the following "strange" behavior. atanh 1.0d0
 838 ;;; is +infinity, but the following code returns approx 176 + i*pi/4.
 839 ;;; The reason for the imaginary part is caused by the fact that arg
 840 ;;; i*y is never 0 since we have positive and negative zeroes. -- rtoy
 841 ;;; Compute atanh z = (log(1+z) - log(1-z))/2.
 842 (defun complex-atanh (z)
 843   (declare (number z))
 844   (let* (;; constants
 845          (theta (/ (sqrt most-positive-double-float) 4.0d0))
 846          (rho (/ 4.0d0 (sqrt most-positive-double-float)))
 847          (half-pi (/ pi 2.0d0))
 848          (rp (float (realpart z) 1.0d0))
 849          (beta (float-sign rp 1.0d0))
 850          (x (* beta rp))
 851          (y (* beta (- (float (imagpart z) 1.0d0))))
 852          (eta 0.0d0)
 853          (nu 0.0d0))
 854     ;; Shouldn't need this declare.
 855     (declare (double-float x y))
 856     (locally
 857        (declare (optimize (speed 3)))
 858     (cond ((or (> x theta)
 859                (> (abs y) theta))
 860             ;; To avoid overflow...
 861            (setf eta (float-sign y half-pi))
 862            ;; nu is real part of 1/(x + iy).  This is x/(x^2+y^2),
 863            ;; which can cause overflow.  Arrange this computation so
 864            ;; that it won't overflow.
 865            (setf nu (let* ((x-bigger (> x (abs y)))
 866                            (r (if x-bigger (/ y x) (/ x y)))
 867                            (d (+ 1.0d0 (* r r))))
 868                       (if x-bigger
 869                           (/ (/ x) d)
 870                           (/ (/ r y) d)))))
 871           ((= x 1.0d0)
 872            ;; Should this be changed so that if y is zero, eta is set
 873            ;; to +infinity instead of approx 176?  In any case
 874            ;; tanh(176) is 1.0d0 within working precision.
 875            (let ((t1 (+ 4d0 (square y)))
 876                  (t2 (+ (abs y) rho)))
 877              (setf eta (log (/ (sqrt (sqrt t1)))
 878                             (sqrt t2)))
 879              (setf nu (* 0.5d0
 880                          (float-sign y
 881                                      (+ half-pi (atan (* 0.5d0 t2))))))))
 882           (t
 883            (let ((t1 (+ (abs y) rho)))
 884               ;; Normal case using log1p(x) = log(1 + x)
 885              (setf eta (* 0.25d0
 886                           (%log1p (/ (* 4.0d0 x)
 887                                      (+ (square (- 1.0d0 x))
 888                                         (square t1))))))
 889              (setf nu (* 0.5d0
 890                          (atan (* 2.0d0 y)
 891                                (- (* (- 1.0d0 x)
 892                                      (+ 1.0d0 x))
 893                                   (square t1))))))))
 894     (coerce-to-complex-type (* beta eta)
 895                             (- (* beta nu))
 896                              z))))
 897
 898 ;;; Compute tanh z = sinh z / cosh z.
 899 (defun complex-tanh (z)
 900   (declare (number z))
 901   (let ((x (float (realpart z) 1.0d0))
 902         (y (float (imagpart z) 1.0d0)))
 903     (locally
 904       ;; space 0 to get maybe-inline functions inlined
 905       (declare (optimize (speed 3) (space 0)))
 906     (cond ((> (abs x)
 907               ;; FIXME: this form is hideously broken wrt
 908               ;; cross-compilation portability.  Much else in this
 909               ;; file is too, of course, sometimes hidden by
 910               ;; constant-folding, but this one in particular clearly
 911               ;; depends on host and target
 912               ;; MOST-POSITIVE-DOUBLE-FLOATs being equal.  -- CSR,
 913               ;; 2003-04-20
 914               #.(/ (+ (log 2.0d0)
 915                       (log most-positive-double-float))
 916                    4d0))
 917            (coerce-to-complex-type (float-sign x)
 918                                    (float-sign y) z))
 919           (t
 920            (let* ((tv (%tan y))
 921                   (beta (+ 1.0d0 (* tv tv)))
 922                   (s (sinh x))
 923                   (rho (sqrt (+ 1.0d0 (* s s)))))
 924              (if (float-infinity-p (abs tv))
 925                  (coerce-to-complex-type (/ rho s)
 926                                          (/ tv)
 927                                          z)
 928                  (let ((den (+ 1.0d0 (* beta s s))))
 929                    (coerce-to-complex-type (/ (* beta rho s)
 930                                               den)
 931                                            (/ tv den)
 932                                             z)))))))))
 933
 934 ;;; Compute acos z = pi/2 - asin z.
 935 ;;;
 936 ;;; Z may be any NUMBER, but the result is always a COMPLEX.
 937 (defun complex-acos (z)
 938   ;; Kahan says we should only compute the parts needed.  Thus, the
 939   ;; REALPART's below should only compute the real part, not the whole
 940   ;; complex expression.  Doing this can be important because we may get
 941   ;; spurious signals that occur in the part that we are not using.
 942   ;;
 943   ;; However, we take a pragmatic approach and just use the whole
 944   ;; expression.
 945   ;;
 946   ;; NOTE: The formula given by Kahan is somewhat ambiguous in whether
 947   ;; it's the conjugate of the square root or the square root of the
 948   ;; conjugate.  This needs to be checked.
 949   ;;
 950   ;; I checked.  It doesn't matter because (conjugate (sqrt z)) is the
 951   ;; same as (sqrt (conjugate z)) for all z.  This follows because
 952   ;;
 953   ;; (conjugate (sqrt z)) = exp(0.5*log |z|)*exp(-0.5*j*arg z).
 954   ;;
 955   ;; (sqrt (conjugate z)) = exp(0.5*log|z|)*exp(0.5*j*arg conj z)
 956   ;;
 957   ;; and these two expressions are equal if and only if arg conj z =
 958   ;; -arg z, which is clearly true for all z.
 959   (declare (number z))
 960   (let ((sqrt-1+z (complex-sqrt (+ 1 z)))
 961         (sqrt-1-z (complex-sqrt (- 1 z))))
 962     (with-float-traps-masked (:divide-by-zero)
 963       (complex (* 2 (atan (/ (realpart sqrt-1-z)
 964                              (realpart sqrt-1+z))))
 965                (asinh (imagpart (* (conjugate sqrt-1+z)
 966                                    sqrt-1-z)))))))
 967
 968 ;;; Compute acosh z = 2 * log(sqrt((z+1)/2) + sqrt((z-1)/2))
 969 ;;;
 970 ;;; Z may be any NUMBER, but the result is always a COMPLEX.
 971 (defun complex-acosh (z)
 972   (declare (number z))
 973   (let ((sqrt-z-1 (complex-sqrt (- z 1)))
 974         (sqrt-z+1 (complex-sqrt (+ z 1))))
 975     (with-float-traps-masked (:divide-by-zero)
 976       (complex (asinh (realpart (* (conjugate sqrt-z-1)
 977                                    sqrt-z+1)))
 978                (* 2 (atan (/ (imagpart sqrt-z-1)
 979                              (realpart sqrt-z+1))))))))
 980
 981 ;;; Compute asin z = asinh(i*z)/i.
 982 ;;;
 983 ;;; Z may be any NUMBER, but the result is always a COMPLEX.
 984 (defun complex-asin (z)
 985   (declare (number z))
 986   (let ((sqrt-1-z (complex-sqrt (- 1 z)))
 987         (sqrt-1+z (complex-sqrt (+ 1 z))))
 988     (with-float-traps-masked (:divide-by-zero)
 989       (complex (atan (/ (realpart z)
 990                         (realpart (* sqrt-1-z sqrt-1+z))))
 991                (asinh (imagpart (* (conjugate sqrt-1-z)
 992                                    sqrt-1+z)))))))
 993
 994 ;;; Compute asinh z = log(z + sqrt(1 + z*z)).
 995 ;;;
 996 ;;; Z may be any number, but the result is always a complex.
 997 (defun complex-asinh (z)
 998   (declare (number z))
 999   ;; asinh z = -i * asin (i*z)
1000   (let* ((iz (complex (- (imagpart z)) (realpart z)))
1001          (result (complex-asin iz)))
1002     (complex (imagpart result)
1003              (- (realpart result)))))
1004
1005 ;;; Compute atan z = atanh (i*z) / i.
1006 ;;;
1007 ;;; Z may be any number, but the result is always a complex.
1008 (defun complex-atan (z)
1009   (declare (number z))
1010   ;; atan z = -i * atanh (i*z)
1011   (let* ((iz (complex (- (imagpart z)) (realpart z)))
1012          (result (complex-atanh iz)))
1013     (complex (imagpart result)
1014              (- (realpart result)))))
1015
1016 ;;; Compute tan z = -i * tanh(i * z)
1017 ;;;
1018 ;;; Z may be any number, but the result is always a complex.
1019 (defun complex-tan (z)
1020   (declare (number z))
1021   ;; tan z = -i * tanh(i*z)
1022   (let* ((iz (complex (- (imagpart z)) (realpart z)))
1023          (result (complex-tanh iz)))
1024     (complex (imagpart result)
1025              (- (realpart result)))))